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2024年12月22日，“你今天不许出去。”李明的声音冷得像冰。
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然而多年后回忆这段恋情时，郑家榆却在为孙耀威解释。一般观念的思维引领作用2020-05-04 22:00·不学无数07boy人民教育出版社 章建跃在教师培训中，我比较喜欢讨论一些数学教学的一般性问题。例如：数学知识的“体系”的涵义是什么？给出数学定义之前，为什么总是要给一些具体实例？为什么要对数学对象进行分类？分类的标准从哪里来？什么叫性质？如何才能更好地让学生学会发现性质？等等。遗憾的是，许多老师的回应是：“我的任务是要让学生更好地掌握书本上的知识，你说的这些‘为什么’是数学家的事，是教材编写者的事。”“那么怎样才算‘掌握’了呢？”老师的回答是：学生会解题。“这些‘为什么’与学生掌握知识没有关系吗？”老师说：从来没有考虑过。原来如此！难怪学生的数学学习费时费力而效果不佳。这种不问“为什么”的教学，把原本最讲道理的数学搞成了“不讲理的学问”，使原本最容易学的学科变成了最令人惧怕、生厌的学科！那么，到底如何在数学教学中讲这个“理”呢？我认为，关键是要有“一般观念”的引领。首先，数学教材的体系结构遵循了“一定之规”，一般按“背景（实际背景、数学背景）──定义（内含、表示）──分类（以要素为标准）──性质（要素、相关要素的相互关系）──特例（性质和判定）──联系（应用）”的逻辑展开。这个系统具有一般意义，是科学研究的“基本之道”。教师以此为基本依据设计课堂教学，并让学生反复经历这个逻辑过程，是“讲理”的关键之一。其次，有效的数学学习需要两个基本条件：一是好的学习素材，二是有效的研究思路和方法。为学生提供典型而丰富的学习素材，让学生展开独立思考，并在思考的方向和思想方法上作适当引导，是“讲理”的又一关键。对于学习素材，我们已有多次讨论。这里着重谈思路和方法的引导问题。显然，思路与已有知识经验相关。但没有数学思想的知识经验只是一种僵化教条，并不能用来发现新的东西。这里的数学思想，关键是具有普遍意义的一般观念。例如，平面图形中，三角形是最简单的，而圆是最完美的（主要表现在对称性上）。于是，平面几何中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用。得到三角形的性质是一方面，更重要的是得到了研究几何图形的一个典范——对其他几何对象的研究都可以循着这样的思路展开，同时还得到了一个“工具”，因为我们往往利用三角形的性质去分析其他几何图形的性质。三角形性质的研究思路和方法是：以它的要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从“形状、大小和位置关系”等角度展开研究。显然，这是一般观念指导下的研究。对于圆，同样可以通过研究它的要素（圆心、半径或直径、弧、弦、圆心角、圆周角）之间的相互联系而获得它的性质。如果用解析几何的方法对圆和三角形进行研究，那么我们就可以得到三角函数的基本性质和三角定律（边角之间稳定的联系）。这里的“一般观念”是：“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数……而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性）的直接反应。”于是，单位圆上以A(1,0)为起点作逆时针方向的单位速率运动的动点，其x，y坐标是时间t的函数，就是余弦函数cost和正弦函数sint。自然地，它们的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述。这里，圆的几何性质是学生熟知的，但把它与正弦、余弦函数联系起来，得到对于三角函数性质的研究思路，则是以“它们的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述”为向导的。数学教学的根本任务是发展学生的思维能力，说到底就是要使学生在面对问题时总能想到办法。注重一般观念的思维引领作用，可以提高思维的系统性、结构性，有效克服“做得到但想不到”的尴尬，使数学的发现更具“必然性”，是实