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2024年12月22日，数学有多迷人，被折磨过的你知道吗？2020-01-15 02:28·澎湃新闻保罗·洛克哈特【编者按】保罗·洛克哈特（Paul Lockhart），一位富有传奇色彩的数学家。大概14岁时，他对数学产生了浓厚兴趣（他特别指出，不是由于学校的数学课程）。为专心研究数学，他从大学退学，靠编程和当小学老师为生。1990年在哥伦比亚大学获得博士学位后，洛克哈特先后在加州大学伯克利分校的数学科学研究中心（MSRI）和布朗大学任职。2000年加入纽约的独立学校圣安学校，教导从幼儿园到12年级的数学课至今。保罗更愿意把数学看作一门艺术而不是科学，它是最纯粹的，能通过好奇、探索与游戏，打开孩子的心智，培养孩子的思维能力和艺术美感。在《一个数学家的叹息：如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界》一书中，他澄清了数学教育的误区，展现了数学的艺术之美。本文摘编自该书的《数学与文化》一章，由澎湃新闻经青豆书坊授权发布。首先我们要了解，数学是一门艺术。数学和其他类型的艺术（如音乐和绘画）的差别只在于，我们的文化不认同数学是一门艺术。每个人都了解，诗人、画家、音乐家创造出艺术作品，以文字、图像及声音来表达自我。事实上，我们的社会对创造性的表达是相当大方的，建筑师、厨师、甚至电视导播都被认为是职业上的艺术家。那么，为何数学家不是呢？这个问题，有一部分原因出在没有人知道数学家到底在做些什么。社会上的普遍认知似乎是，数学家和科学是有关联的——也许是因为数学家提供给科学家一些公式和定理，或者协助将一大堆数字输入计算机。如果这个世界必须要分成“诗意梦想家”和“理性思考家”两类人，毫无疑问，绝大多数人会把数学家放在后面那一类。然而，事实上，没有什么像数学那样梦幻及富有诗意，那样激进、具破坏力和带有奇幻色彩。我们觉得天文学或物理学很震撼人心，在这一点上，数学完全一样（在天文学家发现黑洞之前，数学家老早就有黑洞的构想了），而且数学比诗、美术或音乐容许更多的表现自由，后者高度依赖这个世界的物理性质。数学是最纯粹的艺术，同时也最容易受到误解。因此，让我试着解释数学是什么，以及数学家做些什么。我以英国数学家哈代（G.H.Hardy）绝佳的叙述作为开场：一位数学家，就像一位画家或诗人，是模式（pattern）的创造者。如果他的模式比画家或诗人的模式能留存得更久，那是因为这些模式是用理念（ideas）创造出来的。所以数学家的工作是做出理念的模式（making patterns of ideas）。什么样的模式？什么样的理念？是对于犀牛的理念吗？不是的，那些留给生物学家吧。是对于语言和文化的理念吗？不，通常不是。这些对大部分数学家的审美观而言，都太复杂了。如果数学有一个统一的美学原则的话，那将是：简单就是美（simple is beautiful）。数学家喜欢思考最简单的可能性，而这种最简单的可能性是想象的，不见得是现实存在的。例如，如果现在我在思考形状——这是我常常做的——我可能会想象在长方形中有一个三角形：我想知道，这个三角形占据了长方形多少的空间——三分之二吗？重点是要了解，我现在探讨的不是长方形内有三角形的这幅画；我探讨的，也不是组成桥梁上梁柱架构的那些金属三角形。在此，并没有那些深谋远虑的实用目的存在，我纯粹就是在玩。这就是数学——想知道（wondering）、游戏（playing）、用自己的想象力来娱乐（amusing）自己。首先，三角形在长方形中占据了多少空间，甚至没有任何真实、实体上的目的。即使是最谨慎小心制造出来的实体三角形，仍然是不断震动的原子所组成的，它的形状每分钟都在改变。也就是说，除非你要探讨“近似”（approximate）的度量。好了，这里就会牵扯到数学的“美学”了。因为那样就不单纯了，它成为一个依赖真实世界各式各样细节的丑陋问题了。那些留给科学家去解决吧。数学提出的问题是，在一个想象的长方形中有一个想象的三角形。它们的形状边缘很完美，因为我要它们很完美——这就是我喜欢思考的问题类型。这就是数学的一个主要特征：你想要它是什么样，它就是什么样。你有无限多的选项，没有真实世界来挡路。另一方面，一旦你做了选择（例如，我可能选择我的三角形是对称的，或不是对称的），然后，你这个新创造就会自行发展下去，不管你是否喜欢它的后续发展。这就是制造想象的模式时有趣的地方：它们会回应！这个三角形在长方形中占据了某个空间比例，而我完全无法控制这个比例为何。这个数字就摆在那里，可能是三分之二，可能不是，但可不是我说了算。我必须找出这个数字。因此，我们可以玩玩看，想象一下我们要什么，然后做出模式，再对这套模式提出问题。但是我们要如何解答这些问题呢？这一点都不像科学，我没办法用试管、设备或是任何东西通过做实验来告诉自己，我想象出来的虚拟物的真相。能得知我们想象物的真相的唯一方法，就是运用我们的想象力，然而这是个艰苦的差事。在这个例子中，我的确看到了简单又美妙的地方：如果我把长方形像上面那样切成两个部分，我可以看到这两个部分都被三角形的斜边斜切成一半，所以三角形里面和外面的空间是相等的。也就是说，这个三角形一定是正好占了长方形的一半！这就是数学的外貌和感觉。数学家的艺术就像这样：对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。没有其他事物能达到如此纯粹的概念世界；如此令人着迷、充满趣味，而且不花半毛钱！你也许要问了，我的这个想法又是从何而来的？我怎么知道要画那条辅助线？那我要问你了，画家又是怎么知道要在哪里画上一笔？灵感、经验、尝试错误、运气。这就是艺术，创造出那些有思想的美丽小诗，创造出那些纯粹理性的诗篇。这个艺术形态有着某种东西，能做如此神奇的转变。三角形和长方形之间的关系原本是个谜，然而那条小小的辅助线让谜底浮现了出来。我本来看不出来的，突然间我就看见了。然而，我能够从“无”当中创造出全然简单的美丽，并且在这个过程当中改变了我自己。这不正是艺术吗？这就是为什么看到现在学校里的数学教育会让人如此痛心。这么丰富且迷人的想象力探索过程，却一直遭到贬抑，沦落成一套要死记硬背毫无生气的“事实”（facts），以及必须遵循的演算程序。对于“形状”的一个简单而自然的问题，一个富有创造性和收获的发明与发现的过程，却被取代为：“三角形面积等于底乘以高的一半”，学生被要求死背这个公式，然后在“习题”中反复“应用”。兴奋之情、乐趣、甚至创造过程会有的痛苦与挫折，全都消磨殆尽了。再也没有任何“困难”了。问题在提出来的同时被解答了——学生没事可做。现在，让我说清楚我到底在反对什么。不是公式，也不是背记一些有趣的事实。在某些情境下，这是可以的，就像学习词汇必须要记忆一样——这可以帮助我们创造更丰富、更微妙的艺术作品。但是，三角形面积是长方形面积的一半，这个“事实”并不重要。重要的是，以辅助线来切割的这个巧妙构思，以及这个构思可能激发出其他美妙的构思，进而引导出在其他问题上的创造性突破——光是事实的陈述绝不可能给你这些的。拿掉了创造性的过程，只留下过程的结果，保证没有人能真正全身心投入这个科目。这就像是“说”米开朗基罗创造了美丽的雕塑却不让我“看”它。我要如何受到激发而产生灵感？（当然实际上还更糟——至少我还知道有一个雕塑艺术存在，只是不让我去欣赏它。）由于将焦点集中在“什么”，排除掉“为什么”，数学被降格为一个空壳子。数学不是在“真相”里，而是在说明、论证之中。论证的本身赋予真相一个情境，并确认我们到底在谈论什么、其意义何在。数学是说明的艺术（the art of explanation）。如果你不让学生有机会参与这项活动——提出自己的问题、自己猜测与发现、试错、经历创造中的挫折、产生灵感、拼凑出他们的解释和证明——你就是不让他们学习数学。所以，我不是在抱怨我们数学课堂上出现的事实与公式，我抱怨的是我们的数学课里没有数学。如果你的美术老师告诉你，绘画就是在标了数字的区块上涂上颜色，你会知道这是不对的。我们的文化让你了解这些——我们有博物馆、画廊，你自己家里也有挂画。我们的社会非常了解绘画是媒介，人类借由绘画来表达、展现自我。同样地，如果你的科学老师说，天文学是根据人们的出生日期来预测人们未来行为的一门学科，你会知道这个老师有问题——科学深入我们的文化，几乎每个人都知道原子、星系以及一些自然定律。但是如果你的数学老师给你一个印象，不管是直接说出来或是大家默认的，让你觉得数学是公式、定义以及背记一堆算法，谁来帮你矫正这个印象呢？文化是自我复制繁衍的怪物：学生从他们老师那里学习数学，而老师又是从他们的老师那里学习数学，所以对于数学欠缺的了解与欣赏，会在我们的文化中无止境地复制下去。更糟的是，这种“伪数学”以及这种强调精准却无灵魂地操弄符号的延续，创造了自己的文化和自己的一套价值观。那些已经精熟这一套的人，从他们的成功当中衍生出了极大的自负。他们最听不进去的就是，数学其实是原始的创造力和美学的感受力。许多数学研究生在被人说“数学很强”说了十年之后，才发现自己其实没有真正的数学天分，只是很会遵循指示而已，他们感到伤心、失败。数学不是遵循指示，而是要创造出新的方向。《一个数学家的叹息：如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界》，[美]保罗·洛克哈特著，高翠霜译，上海社会科学院出版社|青豆书坊2019年8月。本期编辑 常琛
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赵慧萍说：是我是泼妇刚才我就当是被猪拱了被狗啃了呸你以后永远都别在碰我了
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