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文：小马达 故事来源：李志发
2024年12月09日，母亲几度哭得晕死过去。奶奶也是如此。
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笔尖、尺子、桌面和房间有什么区别数学家们对此思索了上百年2021-09-28 09:57·木木西里图片来源：Pixabay我们坐在3维的屋子里在2维的桌面上学习、办公沿着1维的尺子丈量物体用0维的笔尖书写——维度看起来如此寻常易懂然而数学家们却并不这么认为一代代的数学家在问题与矛盾中不断地思索、辩证希望能够给出确切的答案：维度到底是什么点、线、面、体之间有什么样的联系和本质的区别乍一看维度（dimension）的概念似乎很直观古人便已知道我们生活在3维空间中亚里士多德曾在著作里表示：可以在1个方向上表征大小的（形状）是一条线2个方向的是一个平面而3个方向的则是一个体除此之外没有别的可以表征大小的情形存在因为只存在上述的这些维度但是随后我们就会意识到给维度这个概念下一个详尽的定义并推广到一般情形是极为困难的数百年来人们进行了大量的思想实验通过想象来进行类比才让我们如今能对这一概念有较为严格的解释不过数学家等群体一直很享受构想更多维度做一些脑力锻炼如果第4个维度以某种方式与我们的3维空间垂直那会是什么样的脑力游戏一种很常用的方法是假设我们的可知宇宙是3维空间中的一个2维平面在这个平面上方飘浮着一个我们看不见的实心球体但如果这个球体掉落并接触到平面就会产生一个点随着球体继续穿过平面交界处会产生一个圆盘并且逐渐增大直到达到最大大小随后圆盘逐渐缩小最终彻底消失我们正是通过这些截面看到了3维的图形各种3维图形与2维平面相交的情况生活在平面里的居民只能看到3维物体的横截面（图片来源：Samuel Velasco/Quanta Magazine）以此类推如果一个4维球体穿过我们所熟悉的3维宇宙那么首先会出现一个点然后这个点变成一个先增大后缩小的球体直至消失这让我们对4维的图形有了一点概念但还有其他方法可以想象这些图形比方说让我们试着在4维空间中构建一个立方体的等价物体即超立方体（tesseract）如果一开始有一个点我们可以把这个点沿着一个方向进行扫描这样就得到了一条线段；将这条线段沿着与之垂直的方向扫描可以得到一个正方形；以此类推我们可以得到一个3维的立方体和一个4维的超立方体移动低维图形（蓝色）进行扫描可以构建出高维图形（紫色）包括超立方体综合以上的内容我们可以直观地认为如果一个抽象空间内有n个自由度或者是空间中一个点的位置需要n个坐标来描述那么这个空间就是n维的不过数学家们发现维度的概念比这些简化的描述更为复杂看似简单实则复杂对高维空间的正式研究始于19世纪在几十年内这一领域就变得极为复杂1911年的一部著作著录了1832篇与n维空间的几何学有关的参考文献在19世纪末至20世纪初公众变得对第4维极为痴狂1884年埃德温·阿博特（Edwin Abbott）撰写了讽刺小说《平面国》（Flatland）日后大受欢迎书中描绘了2维生命遇见来自第3维度的生命的场景用这一类比来帮助读者们理解第4个维度1909年《科学美国人》（Scientific American）杂志举办了什么是第4维主题征文比赛奖金为500美元共收到245份参赛作品而巴勃罗·毕加索（Pablo Picasso）、马塞尔·杜尚（Marcel Duchamp）等许多艺术家都曾在作品中融入第4维的概念但是在这一时期数学家们意识到缺少对维度的正式定义确实是一个问题格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）最著名的发现是不同无限集合的大小是不一样的或者说有不一样的势（cardinality）起初康托尔认为一条线段、一个正方形和一个立方体中的点集必然有不同的势就像包含10个点的线段、10×10的网格点阵和10×10×10的立方体点阵包含的点数量不同一样然而1877年他发现线段和正方形中的点存在一一对应关系（对所有维度的立方体也可以依此类推）表明它们有相同的势于是他证明了一个直观的结论：尽管线、正方形和立方体的维度不同但它们由同样数量的极小的点构成康托尔意识到这一发现对n维空间需要n个坐标来描述这一直观的想法产生了冲击这是因为n维立方体中的每一个点都可以唯一地被一个区间内的一个数所标识因而在某种意义上这些高维的立方体与1维的线段是等价的然而里夏德·狄德金（Richard Dedekind）指出康托尔所构造的函数是高度不连续的它实际上是把一条线段拆分为无穷多个部分然后重新拼装成一个立方体但是坐标系的构建不应当包含这种行为；这种方式过于混乱就像给纽约曼哈顿的所有建筑一个唯一的地址但这些地址和每一栋建筑之间的匹配却是随机的1890年朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）发现1维曲线可以被紧凑且连续地折叠起来并填满2维正方形内的每一个点不过他构造的曲线会与自身相交无穷多次如果再用曼哈顿作类比的话这就像有一部分建筑有多个地址戴维·希尔伯特（David Hilbert）构想的空间填充曲线构建它需要循环进行5个步骤在每一步中曲线的面积都是0但在极限情况下曲线便能填满正方形这些例子表明数学家们需要证明维度是一种真实存在的概念；例如当n≠m时n维和m维欧氏空间之间存在着某些根本的差异这一目标后来演变成对维度不变性（invariance of dimension）问题的研究从高维空间到海岸线在康托尔的发现之后将近半个世纪内许多数学家都尝试证明维度不变性但都铩羽而归最终在1912年时卢伊兹·布劳威尔（L.E.J. Brouwer）应用自己发明的新方法终于获得了成功本质上说他证明了不可能在既不将物体分割成许多部分（如康托尔的方法）又不让物体与自身相交（如皮亚诺的方法）的情况下将一个高维物体放到一个维度较低的物体内或是用一个低维物体完全填充一个维度较高的物体同一时期布劳威尔和其他数学家还给出了多项严格的数学定义例如其中一项定义以n维空间中的球体的边界是n-1维的为基础用归纳法规定了不同的几何图形的维度尽管布劳威尔的工作给维度的概念奠定了坚实的数学基础但它们并不能帮助人们直观地理解高维空间因为我们对3维空间过于熟悉往往会被误导例如假设我们要把2^n个半径为1的球体放到一个边长为4的n维立方体里然后在中心再放一个球使之与其他球体全都相切中心球体的半径为n1/2-1随着n的增大而增大于是这会导致一个非常令人震惊的结果：当n≥10时这个球体就会超出立方体的边一个正方形内放入了5个圆（左）和立方体内放入9个球体（右）的情形随着维度增加中心的球体会逐渐增大最终立方体将无法容纳它对维度的探索并未止于布劳威尔的发现短短几年后费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）提出了维度的一种定义几十年后人们意识到这一定义对于现代数学是必需的有一种方法可以帮助我们直观地理解其定义：如果把一个d维的物体均匀地放大为原来的k倍那么这个物体的大小就会变为原来的kd倍例如如果我们把一条线段、一个正方形和一个立方体放大为原来的3倍那么点的大小不会改变（30=1）而线段长度、正方形的大小和立方体的大小分别变为原来的3、9和27倍将不同维度的物体进行缩放根据豪斯多夫的定义我们会得到一个意外的结果：物体的维度可以不是整数几十年后这恰恰为贝努瓦·B.曼德尔布罗（Benoit B. Mandelbrot）的问题给出了答案当时曼德尔布罗正思考大不列颠岛的海岸线有多长海岸线可能会相当参差不齐无法用尺子精确地测量其长度——尺子越短测量越精确但同时测量的工程也会越浩大曼德尔布罗认为豪斯多夫的维度定义提供了一种量化海岸线粗糙度（jaggedness）的方法1975年他造出了分形（fractal）这个术语来描述这类复杂的无穷图形测量出的大不列颠岛海岸线长度取决于尺子的长短我们可以以科赫曲线（Koch curve）为例来理解非整数维度可能是什么样的科赫曲线是用迭代的方法生成的起初我们有一条线段；每一步我们要把每条线段的中间1/3去掉用2条和去掉的线段长度相同的线段来代替重复这一过程无穷多次就得到了科赫曲线如果将曲线放大你会发现它包含4个部分每个部分都和整条曲线（形状）相同但大小只有后者的1/3所以如果把曲线放大为原来的3倍我们就得到了4条和原曲线相同的曲线因而这条曲线的豪斯多夫维度d满足3d=4所以d=log34≈1.26这条曲线不能像皮亚诺的曲线那样填满整个空间所以它不算是2维的但又比一条单纯的1维的线要复杂科赫曲线的生成过程3维之外可能有的读者会疑惑：难道第4维不是时间吗1895年赫伯特·韦尔斯（H.G. Wells）发表了小说《时间机器》（The Time Machine）正如小说中的发明家所说除了我们的意识沿着时间流动以外时间和3维空间的任一个维度并无区别1919年发生的一场日食使科学家们得以确认爱因斯坦的广义相对论也印证了赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）的预测：从此以后独立的空间和独立的时间注定将不复存在只有某种将二者结合的形式可以将独立的现实保存下来如今数学家和其他领域的研究者常常进行我们熟悉的3维空间以外的研究有时这些研究会涉及额外的物理维度（如弦论就需要这些维度）但更多的时候我们会进行抽象的工作不会构想真实的空间几何学的研究可能涉及高维空间而物理、生物、工程、金融和图像处理等领域有时会研究分形需要用到非整数维度幸运的是要想享受维度的乐趣并不需要对它有充分的理解——这一点鸟儿和数学家们都一样内容来源：环球科学不同物种抢椅子生物多样性将何去何从|《自然》长文在读博内卷的时代如何让自己顺利毕业一个博士的血泪求职路：想入职高校请以我为鉴避坑特别声明：本文发布仅仅出于传播信息需要并不代表本公众号观点侵删；如其他媒体、网站或个人从本公众号转载使用请向原作者申请并自负版权等法律责任
最终，民警依法对余某处以驾驶证记12分并暂扣6个月，同时罚款1000元。与六大国有行一致，目前发布公告的各家银行，均以2019年10月7日前，2019年10月8日-2022年5月14日，2022年5月15日后，叁个时间段来调整利率。