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那是2017年底、2018年初，正是房子热得烫手的时候，很多人一窝蜂地涌进楼市，而且各地的新楼盘也象韭菜一样，齐刷刷长出来一排又一排。
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再比如衣袖加长后自带手套、连手指都不见光的指尖防晒衣、一件顶7件的长裙款防晒衣就包含了外套、防晒帽、防晒口罩、防晒袖套、防晒霜、遮阳伞、防晒裤7件套
曾经，黑胶唱片工厂的机器轰鸣，生产线昼夜不停，而现在，这些工厂大多已经关停，机器上落满了灰尘，一片萧条。“物不知数问题”的一般化2019-08-29 21:35·初等数学学习aoe1981“物不知数问题”的一般化2019年8月29日星期四本文接前文：——《用现代数学方法解古题“物不知数”》——《用“辗转相除法”将两数的最大公因数表成两数的线性组合》——《完整例解增强版“物不知数”》——《除数不满足“两两互素”条件的“物不知数问题”初探》对于“物不知数问题”的一般化推广，本文打算分两步：一、形如：ax≡b（mod m）或ax－b≡0（mod m）的一元一次同余方程组；二、形如：f（x）≡b（mod m）或f（x）－b≡0（mod m）的一元同余方程组。且以第一步为主介绍，第二步推广据说连数学家都没有找到好的求通解的方法。文中图片均来自网络一、f（x）＝a1x＋a0数学符号总让人抓狂，且看古题改编：“今有物，不知其数。二倍之，十五、十五数之，剩十四；三倍之，十二、十二数之，剩三；四倍之，十四、十四数之，剩八；五倍之，九九数之，剩五。问：物几何？”数学化：方程组A：2x≡14（mod 15） 式①3x≡3（mod 12） 式②4x≡8（mod 14） 式③5x≡5（mod 9） 式④或者：2x－14≡0（mod 15）3x－3≡0（mod 12）4x－8≡0（mod 14）5x－5≡0（mod 9）这道题也是我精心设计的，因为它一定有解。胡乱构造一道这样的题，无解的可能性是很大的。怎么解？似乎又有了新变化、新挑战，的确如此。步骤1：运用定理：若：x≡b(mod m)， 则：kx≡kb(mod km)。 其中：x、b、m、k∈Z。由于：［2，3，4，5］＝60原方程组变为：60x≡420（mod 450），取k＝30；60x≡60（mod 240），取k＝20；60x≡120（mod 210），取k＝15；60x≡60（mod 108），取k＝12。步骤2：令：y＝60x则有：方程组B：y≡420（mod 450） 式①y≡60（mod 240） 式②y≡120（mod 210） 式③y≡60（mod 108） 式④步骤3：判断方程组B是否有解。先对模进行标准素因子分解：m1＝450＝2×3^2×5^2m2＝240＝2^4×3×5m3＝210＝2×3×5×7m4＝108＝2^2×3^3判断：（m1，m2）｜（b2－b1）＝（450，240）｜（60－420）＝30｜（－360）（m1，m3）｜（b3－b1）＝（450，210）｜（120－420）＝30｜（－300）（m1，m4）｜（b4－b1）＝（450，108）｜（60－420）＝18｜（－360）（m2，m3）｜（b3－b2）＝（240，210）｜（120－60）＝30｜60（m2，m4）｜（b4－b2）＝（240，108）｜（60－60）＝12｜0（m3，m4）｜（b4－b3）＝（210，108）｜（60－120）＝6｜（－60）结论：方程组B有解。步骤4：拆解方程组B的合数模。y≡420（mod 2）y≡420（mod 9）y≡420（mod 25）——————y≡60（mod 16）y≡60（mod 3）y≡60（mod 5）——————y≡120（mod 2）y≡120（mod 3）y≡120（mod 5）y≡120（mod 7）——————y≡60（mod 4）y≡60（mod 27）将常数项继续模相应m运算得：y≡0（mod 2）y≡6（mod 9）y≡20（mod 25）——————y≡12（mod 16）y≡0（mod 3）y≡0（mod 5）——————y≡0（mod 2）y≡0（mod 3）y≡0（mod 5）y≡1（mod 7）——————y≡0（mod 4）y≡6（mod 27）去重：y≡0（mod 2）y≡6（mod 9）y≡20（mod 25）——————y≡12（mod 16）y≡0（mod 3）y≡0（mod 5）——————y≡1（mod 7）——————y≡0（mod 4）y≡6（mod 27）整理：y≡0（mod 2）y≡0（mod 4）y≡12（mod 16）——————y≡0（mod 3）y≡6（mod 9）y≡6（mod 27）——————y≡0（mod 5）y≡20（mod 25）——————y≡1（mod 7）保留高次幂模：y≡12（mod 16） 式①y≡6（mod 27） 式②y≡20（mod 25） 式③y≡1（mod 7） 式④此时，模｛16，27，25，7｝满足“两两互素”的条件，是为方程组C。从方程组A到B再到C，一路变形，皆恪守“等价变形”，否则就误入歧途了。步骤5：求方程组C的特解参数：v1、v2、v3、v4。v1：｛m1，m2m3m4｝＝｛16，27×25×7｝＝｛16，4725｝1＝886×16－3×4725（辗转相除过程略）v1＝－3——————v2：｛m2，m1m3m4｝＝｛27，16×25×7｝＝｛27，2800｝1＝－1037×27＋10×2800（辗转相除过程略）v2＝10——————v3：｛m3，m1m2m4｝＝｛25，16×27×7｝＝｛25，3024｝1＝121×25－1×3024（辗转相除过程略）v3＝－1——————v4：｛m4，m1m2m3｝＝｛7，16×27×25｝＝｛7，10800｝1＝1543×7－1×10800（辗转相除过程略）v4＝－1步骤6：代入特解模型求出特解。c＝v1（m2m3m4）b1＋v2（m1m3m4）b2＋v3（m1m2m4）b3＋v4（m1m2m3）b4＝－3×4725×12＋10×2800×6＋（－1）×3024×20＋（－1）×10800×1＝－170100＋168000－60480－10800＝－73380求通解。y＝c＋k［m1，m2，m3，m4］＝－73380＋k×［16，27，25，7］＝－73380＋75600kx＝y/60＝（－73380＋75600k）÷60＝－1223＋1260k当k＝1时，得最小正数解：x＝37。步骤7：验证。2×37÷15＝4……143×37÷12＝9……34×37÷14＝10……85×37÷9＝20……5结论：形如：f（x）≡b（mod m）的一元同余方程组中，当f（x）＝a1x＋a0时，可以完整解决。二、f（x）＝anx^n＋……＋a3x^3＋a2x^2＋a1x＋a0此时的一元同余方程组主要是指一元高次同余方程组，形如：f（x）≡b1（mod m1）g（x）≡b2（mod m2）h（x）≡b3（mod m3）……其中：f（x）、g（x）、h（x）……全是对于不定量（或变量、未知数）x的多项式，且彼此间次数不见得一致。此时的求解一元同余方程组并不容易，甚至据说连一元二次同余方程组的通解都没能找到……要是再推广的话，可以有二元同余方程组、三元同余方程组、甚至更多……f（x，y，z）≡b1（mod m1）g（x，y，z）≡b2（mod m2）h（x，y，z）≡b3（mod m3）……实非寻常人可为啊。不过，对于一元同余方程组，哪怕是高次的，却是有一种“暴力”求解方法的，容后文介绍。